ECCNotes1
huangx607087学习ECC的笔记1
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一个密码学fw的学习笔记，别看，很菜的。
这一系列笔记主要介绍椭圆曲线密码学的知识。
1.椭圆曲线
椭圆曲线是具有以下格式的曲线：
$$
y^2=x^3+ax+b
$$
椭圆曲线的一个惊人的特点是，有一种自然的方法，在椭圆曲线上取两个点，并“添加”它们以产生第三个点。在“添加”周围放置引号，因为我们指的是一个操作，它以一种类似于在某些方面添加的方式结合两点（它是交换的和关联的，并且有一个恒等式），但在其他方面与添加非常不同。描述椭圆曲线上“加法定律”的最自然方法是使用几何。
椭圆曲线上已知$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$两点时，我们可以利用以下公式计算第三点：
$$
x_3=s^2-x_1-x_2
$$
$$
y_3=s(x_1-x_3)-y_1
$$
其中，当两个点不同时，$s=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。当相同的两个点相加时，$s=\dfrac {3x^2+a}{2y}$。并且假如点$M$是椭圆曲线上的一点，那么$M+M$也可以写作$2M$。
由于椭圆曲线是关于$x$的三次曲线，因此任意画一条直线$y=kx+b$，与椭圆曲线联立方程组，都会有三个根。而这三个根的和恰好为$O$，其中$O$是坐标纸上一个无穷远的点，又被称为源点。
因此，椭圆曲线还满足以下四条运算律：$O+P=P,P+(-P)=O,P+Q=Q+P$。并且如果两个点$P,Q$横坐标相同，纵坐标互为相反数，则$P+Q=O$。
这里还有一个小小的结论，就是在不进行取模的情况下一个简单的点自加的时候（例如$y^2=x^3+3x+5$上的点$(1,3)$）,无论是$x$坐标还是$y$坐标，分子和分母的增长的数量级都是迅速的，设$u$是$x$坐标分子、$x$坐标分母、$y$坐标分子、$y$坐标分母中的$4$个值得任意一个，那么都有$\ln u$正比于$k^2$，其中$k$是点自加的次数。并且，任何一个椭圆曲线上的整点都是有限的，基本不超过$15$个。
2.有限域中的椭圆曲线
有限域中的椭圆曲线要求$4a^3+27b^2 \not =0$。
下面我们以椭圆曲线$y^2=x^3+x+8$，定义域为$GF(13)$为例。寻找上面的点。
我们可以把$0$到$12$的每一个数字带进去计算$y$，然后判断$y$是否为二次剩余即可确定该点是否存在。
所以我们可以找到$9$个点：$O,(1,5),(1,8),(2,3),(2,10),(9,6),(9,7),(12,2),(12,11)$。
根据刚才的理论，我们可以计算$(1,8)+(9,7)=(2,10)$。具体步骤请自己手搓（
而ECC在有限域上也遵循这样的计算法则，只不过多了一个模数$p$。下面的代码时计算$kA$的代码，输入相关的参数即可运行求解，使用的也是二分的方法。
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3.椭圆曲线上的离散对数ECDLP
椭圆曲线上的离散对数问题的形式主要是当知道点$P,Q$的时候，寻找一个未知数$n$，使得
$$
Q=nP
$$
这个时候，我们也可以写成$n=\log_PQ$或$\dfrac {\ln (Q)}{\ln P}$
目前想要在$F_p$中解决ECDLP的时间复杂度是$O(\sqrt p)$。因此当$p$非常大的时候，计算ECDLP也是非常困难的。不过如果$p-1$是光滑数，那么使用PohilgHellman算法也是可以在较短时间内解决这个问题的。
4.椭圆曲线密码学
4x01 椭圆曲线上的Diffie–Hellman密钥交换
首先先确定一个大素数$p$、一个椭圆曲线表达式$E$和椭圆曲线上的一点$P$。
Alice确定一个秘密的整数$a$，并计算$Q_A=aP$。同时Bob确定一个秘密的整数$b$，计算$Q_B=bP$。并互相发送$Q_A,Q_B$。
收到消息后，Alice计算$aQ_B$，Bob计算$bQ_A$即可。
4x02椭圆曲线上的ElGamal公钥密码体制
在确定一个大素数$p$，$GF(p)$上的一个椭圆曲线$E$和椭圆曲线上的一个点$P$。
Alice确定私钥$a$，并计算$Q=aP$，并公开公钥$Q$。
Bob加密时，选取椭圆曲线上的一个点$M$和一个随机数$k$。并计算密文$C_1=kP,C_2=M+kQ$，将密文$(C_1,C_2)$发送给Alice。
Alice收到密文后，计算$C_2-aC_1$即可。
下面就是使用$y^2=x^3+7x+8$，$p=43$进行加密的例子,Sagemath代码
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5.$GF(2)$和$GF(2^k)$上的椭圆曲线
计算机会讲二进制，所以它们特别适合做模$2$的计算。 这表明使用椭圆曲线模$2$可能更有效。 不幸的是，如果$E$是在$GF(2)$上定义的椭圆曲线，那么$E(GF(2))$最多包含5个点，因此$E(GF(2))$对于密码学目的是没有用的。
然而，还有一些其他的域，也可以使得$2\equiv 0$，这种域就是$GF(2^k)$域。对于每个素数幂$p^k$，$GF(p^k)$都是一个有$p^k$个元素的素数域。因此，我们可以取一条椭圆曲线，它的方程在$GF(p^k)$中具有系数，并观察该曲线上具有坐标的点群。在这种更一般的情况下，Hasse定理是正确的。
Hasse定理：在$GF(p^k)$中，椭圆曲线$E(GF(p^k))$上的点数为$p^k+1-t_{p^k}$，其中$t_{p^k}$的绝对值不超过$2p^{(k/2)}$。
例如，我们在复数域$GF(9)$中，可以构造$E(GF(9)):y^2=x^3+(1+i)x+(2+i)$。这个椭圆曲线上有$10$个点，分别是$(2i,1+2i),(2i,2+i),(1+i,1+i),(1+i,2+2i),(2,0),(2+i,i),(2+i,2i),(2+2i,1),(2+2i,2)$和$O$。其中点可以相互叠加，只不过需要用到$i^2=-1$和计算时不断地模$3$。不过我们要注意的就是构造椭圆曲线的时候，要注意$\Delta=-16(4A^3+27B^2)$的值不为零（不过多数情况下，如果仅做判断，会省去前面的系数$-16$）。
只要我们在$2\not=0$的字段中工作，那么$Δ\not =0$条件与任何一个定义都是相同的，但是对于$GF(2^k)$其中$2=0$的情况下，我们已经为每个标准椭圆曲线方程均满足$Δ=0$。所以，我们要引入扩展椭圆曲线方程的形式：
$$
E: y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6
$$
其中，比我们一开始的椭圆曲线，多了$xy$交叉项、$y$的一次项和$x$的二次项。当然，这个曲线上也有一个无穷远的点$O$。此时的$\Delta$是这样算的：
设$b_2=a_1^2+4a_2,b_4=2a_4+a_1a_3,b_6=a_3^2+4a_6,b_8=a_6b_2-a_1a_3a_4+a_2a_3^2-a_4^2$。
那么$\Delta=-b_2^2b_8-8b_4^3-27b_6^2+9b_2b_4b_6$。虽然这些公式看起来很复杂，但它们很容易计算，并且条件$Δ\not =0$正是确保曲线$E$是非奇异的必要条件。
关于$E$的加法定律的几何定义与我们以前的定义相似，唯一的变化是旧的反射步骤$(x,y)→(x,−y)$被稍微复杂的反射步骤所取代，其中$-y$被替换成了$-y-a_1x-a_3$。而求一个点的负点，也是遵循$x$不变，$y$换成$-y-a_1x-a_3$的方法。
当$S(x_1,y_1),T(x_2,y_2)$两点相加时，我们也有：
$$
x(S+T)=(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1})^2+a_1(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1})-a_2-x_1-x_2
$$
而求一个点$(x,y)$的两倍点，可以用这样的公式：
$$
x(2S)=\dfrac{x^4-b_4x^2-2b_6x-b_8}{4x^3+b_2x^2+4b_4x+b_6}
$$
而当$GF(2^k)$域上计算的时候，我们就需要用到不可约多项式了。
例如：在$GF(8)$上，我们可以选取不可约多项式$t^3+t+1$。此时，$GF(8)$中的所有元素就被锁定在$t$的不超过二次多项式里面了。因此我们可以定义一个这样的椭圆曲线：
$$
y^2+(1+t)y\equiv x^3+(1+t^2)x+t \pmod{t^3+t+1}\text{ and }\pmod2
$$
这个上面一共有$9$个点，比如$(0,t),(0,1),(t,1+t),(1+t^2,t+t^2)……$等等，当然，$9$个点里面还包括一个无穷远点$O$
当然，我们也可以得到计算：$(1+t^2,t+t^2)+(1+t,t)=(1+t^2,1+t^2)$和$2(t,1+t)=(t,0)$。
定义：**(p-power)Frobenius**映射$τ$是由简单规则定义的从$GF(p^k)$到自身的映射，$τ(a)=a^p$。
当然$τ(a+b)=τ(a)+τ(b),τ(ab)=τ(a)τ(b)(\text{in GF(2}^k))$。当然，对于椭圆曲线上的一点$P(x,y)$，也有$τ(P)=(τ(x),τ(y))$。
换句话说，$τ$将$E(GF(2^k))$映射到自身，它满足加法定律。 (在数学术语中，Frobenius映射是$E(GF2^k)$与自身的群同态。
$GF(p)$中椭圆曲线上的点的个数$\mathrm{ind }E$在区间$[p+1-2\sqrt p,p+1+2\sqrt p]$中。