VNCTF WriteUp

WriteUp
CTFSeason2
发布日期:   2021-04-09

VNCTF WriteUp By huangx607087

0.Introduction

3月14日的VNCTF，自己一道题也不会，只能靠赛后复现了。这可以充分印证以下这个事实
$$
\mathrm{huangx607087 == feiwu}
$$

1.WhiteGive

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from Crypto.Util.number import *
from secret import url
from gmpy2 import *
m = bytes_to_long(url)
p = getPrime(512)
q = getPrime(512)
n = p * q
d = getPrime(256)
e = inverse(d,(p-1)*(q-1))
c = pow(m,e,n)
print(n)
print(c)
m = e
p = getPrime(512)
q = getPrime(512)
n = p * p * q
e = 0x10001
d = inverse(e,lcm(p,lcm(p-1,q-1)))
c = pow(m,e,n)
hint = pow(d,e,n)
print(n)
print(c)p
print(hint)

这道题给出了第一步加密的$n,c$的值，并对第一次的$e$进行了另一轮加密操作。其中$d$是$e=65537$模$\dfrac{p(p-1)(q-1)}{\gcd(p-1,q-1)}$的逆元。因此我们要求出第一轮$e$的值。而给出了$h\equiv d^e \pmod n$

一开始，自己想的是计算出$e^{e-1}$，由$c=m^e$，那么我们可以计算。

Q1

然后尝试枚举$\gcd(p-1,q-1)$的值，看看能不能解出一个小于$1024$比特的值，结果失败了。这道题就没有继续做下去了。

然后看了西电大佬Deebato的Exp，自己才得知了这道题正确的解法：

我们可以推出这样的式子：由$ed\equiv 1 \pmod {\dfrac{p(p-1)(q-1)}{\gcd(p-1,q-1)}}$。既然我们已知了$d^e$，那我们也可以计算出$e$的值，那么我们就有了$(ed)^e\equiv 1 \pmod {\dfrac{p(p-1)(q-1)}{\gcd(p-1,q-1)}}$。因此，$(((ed)^e-1)\mod n)\equiv 0 \pmod {\dfrac{p(p-1)(q-1)}{\gcd(p-1,q-1)}}$。因此我们可以计算$(ed)^e$的值，然后与$n$取GCD即可。我们就得到了$p$值，接着就是正常的RSA解密了。

解出$p,q$后才发现$\gcd(p-1,q-1)=6$，不知道自己当时枚举的时候出现了什么问题

不过我们进入第二步，我们看到了$\ln d = 0.25 \ln n$，考虑Wienerattack，不过好像失败了（。还好，我在RSA Notes 4中还有一个脚本，这个能够跑出来。

解出来后，是一个网站。。。里面竟然还有一题（

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from Crypto.Util.number import *
from secret import flag,padding
from gmpy2 import *
m = bytes_to_long(flag)
e = 7 
p = getPrime(512)
q = getPrime(512)
n = p * q
c1 = pow(m,e,n)
c2 = pow(m+padding,e,n)
print(n)
print(c1)
print(c2)

很显然，乍一看以为是Related Message Attack。结果发现我们不知道Padding。查了一下才知道是Short-Padding Attack。上一下脚本，以后再研究（gugugu）

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#Sagemath
def short_pad_attack(c1, c2, e, n):
    PRxy.<x,y> = PolynomialRing(Zmod(n))
    PRx.<xn> = PolynomialRing(Zmod(n))
    PRZZ.<xz,yz> = PolynomialRing(Zmod(n))
    g1 = x^e - c1
    g2 = (x+y)^e - c2
    q1 = g1.change_ring(PRZZ)
    q2 = g2.change_ring(PRZZ)
    h = q2.resultant(q1)
    h = h.univariate_polynomial()
    h = h.change_ring(PRx).subs(y=xn)
    h = h.monic()
    kbits = n.nbits()//(2*e*e)
    diff = h.small_roots(X=2^kbits, beta=0.4)[0]  # find root < 2^kbits with factor >= n^0.4
    return diff
def related_message_attack(c1, c2, diff, e, n):
    PRx.<x> = PolynomialRing(Zmod(n))
    g1 = x^e - c1
    g2 = (x+diff)^e - c2
    def gcd(g1, g2):
        while g2:
            g1, g2 = g2, g1 % g2
        return g1.monic()
    return -gcd(g1, g2)[0]
if __name__ == '__main__':
    n = 
    e = 7
    c1 =
    c2 = 
    diff = short_pad_attack(c1, c2, e, n)
    print("difference of two messages is %d" % diff)
    m1 = related_message_attack(c1, c2, diff, e, n)
    print("m1:", m1)
    print("m2:", m1 + diff)

最后得出flagVNCTF{H4ppyNeWy34r!2021_V&N_figHt1ng!}

2.FACTOR

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from Crypto.Util.number import *
from gmpy2 import *
from secret import flag
def get_public_key(d):
    while 1:
        p, q = getPrime(512), getPrime(512)
        N, phi, not_phi = p * q, (p - 1) * (q - 1), (p + 1) * (q + 1)
        try:
            e = inverse(d, not_phi)
            assert gcd(e, phi) == 1
            break
        except:
            pass
    return (N, e)
def encrypt(pubkey, m):
    N, e = pubkey
    c = pow(m, e, N)
    return c
m = bytes_to_long(flag)
d = getPrime(300)
pubkeys = [get_public_key(d), get_public_key(d)]
cs = encrypt(pubkeys[0], m), encrypt(pubkeys[1], m)
print(pubkeys)
print(cs)

题目的代码很简单，简单理解一下，就会发现实际上是通过一个很小的解密指数$d$所生成的两组公钥。一开始自己看的不认真，以为是Extending Wiener Attack，结果怎么做也做不出来（x

最后才知道，这原来是一种新的攻击方法。如果解密指数$d$比较低，我们可以通过构造格的方法来解决。

相关的论文是这样解释的：如果使用一个小$d$为私钥来构造$r$组公钥，而构造出的模数的数量级接近，那么我们可以根据$ed\equiv 1 \pmod n$构造如下的式子：
$$
e_id = 1 + k_i \phi(n_i)
$$
其中我们假设$n_1<n_2<n_3<…<n_r<2n_1$。论文中说：如果$\dfrac{\ln d}{\ln n}=\delta$，则若$\delta<0.5-\dfrac{1}{2(r+1)}-\dfrac{\ln \delta}{\ln n_r}$，那么所有的模数$n$都可以在多项式的时间复杂度内被分解。

下面我们简单地说一下解决方法：假设$M=(\sqrt n_5)^-$，$s=n-\phi(n)$。(注：本博客用上标$+$表示向上取整或无限从右趋近，用下标$-$表示向下取整或者无限从左趋近)。那么我们可以构造这样的式子：

1

然后我们可以构造以下的矩阵（以$r=5$为例）

2

根据上面的式子和上面的矩阵（假设矩阵记为$B$）,我们就可以构造$\vec v=(d,k_1,k_2,k_3,k_4,k_5),\vec w=(d\sqrt{n_5},1-k_1s_1,1-k_2s_2,1-k_3s_3,1-k_4s_4,1-k_5s_5)$。这样我们就满足$\vec vB=\vec w$的构造了。不过跟过去不同的是：这次解出来的最短向量为$\vec v$而不是前几次的$\vec w$。根据这个递推式也可以发现

由此可见，在数据足够多的情况下，如果$\ln d<0.5\ln n$，那么我们就有可能解出来$d$的值。所以根据我们在RSA中的经验，在发放公钥的时候，一定要保证$\ln d>\ln n$。不然很容易被攻破。

总结一下，Wienerattack是$n$相同，$d$改变，$\ln d<0.5\ln n$。而共私钥指数攻击是$d$相同，$n$改变，$\ln d<0.5\ln n$。

所以我们可以上一下脚本，这里$r=2$，因此格是$3$维的。

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#Sagemath
from Crypto.Util.number import *
n1=5362254810180378444......
e1=3762917428094791884......
n2=1154833387078533235......
e2=5794296112064899907......
c1=5320050759114401782......
c2=5186139432313258226......
assert n2>n1
M=int(sqrt(n2))
B=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]
B[0][0],B[0][1],B[0][2]=M,e1,e2
B[1][1],B[2][2]=n1,n2
B=Matrix(ZZ,B)
B=B.LLL()
if(B[0][0]<0):
    B=-B
d,t1,t2=B[0][0]//M,B[0][1],B[0][2]
k1,k2=(d*e1-t1)//n1,(d*e2-t2)//n2
k1.nbits(),k2.nbits()
s1,s2=(t1-1)//k1-1,(t2-1)//k2-1
var('x')
F,G=x^2-s1*x+n1,x^2-s2*x+n2
p1,q1=F.roots()[0][0],F.roots()[1][0]
p2,q2=G.roots()[0][0],G.roots()[1][0]
phi1,phi2=(p1-1)*(q1-1),(p2-1)*(q2-1)
d1,d2=inverse(e1,ZZ(phi1)),inverse(e2,ZZ(phi2))
print(long_to_bytes(pow(c2,d2,n2)),long_to_bytes(pow(c1,d1,n1)))
#b'vnctf{7d47956b-bc55-4897-a550-cda0b221ce67} vnctf{7d47956b-bc55-4897-a550-cda0b221ce67}'

3.Strange Function 1

按照惯例，首先看一下题目：

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import socketserver
import os
import signal
import string
import random
from gmpy2 import *
from secret import flag
from hashlib import sha256
from Crypto.Util.number import *
MENU = br'''[+] 1.function
[+] 2.only_function_numerator
[+] 3.only_function_denominator
[+] 4.exit
'''
class Task(socketserver.BaseRequestHandler):
    def _recvall(self):
        BUFF_SIZE = 2048
        data = b''
        while True:
            part = self.request.recv(BUFF_SIZE)
            data += part
            if len(part) < BUFF_SIZE:
                break
        return data.strip()
    def send(self, msg, newline=True):
        try:
            if newline:
                msg += b'\n'
            self.request.sendall(msg)
        except:
            pass
    def recv(self, prompt=b'[-] '):
        self.send(prompt, newline=False)
        return self._recvall()
    def proof_of_work(self):
        random.seed(os.urandom(8))
        proof = ''.join([random.choice(string.ascii_letters+string.digits) for _ in range(20)])
        _hexdigest = sha256(proof.encode()).hexdigest()
        self.send(f"[+] sha256(XXXX+{proof[4:]}) == {_hexdigest}".encode())
        x = self.recv(prompt=b'[+] Plz tell me XXXX: ')
        if len(x) != 4 or sha256(x+proof[4:].encode()).hexdigest() != _hexdigest:
            return False
        return True
    def function_only_numerator(self, x):
        '''
        ********
        * hide *
        ********
        '''
        return
    def function_only_denominator(self, x):
        '''
        ********
        * hide *
        ********
        '''
        return
    def my_round(self, value, x):
        return round(value * (10**x)) / ((10**x) * 1.0)
    def function(self, x):
        res = 0
        for i in range(self.lenth):
            numerator = ord(flag[i])
            denominator = x - self.data[i]
            try:
                tmp = numerator / denominator
            except Exception as e:
                self.send(b'[+] Error!')
                return
            res += tmp
        assert self.my_round(res,10) == self.my_round(self.function_only_numerator(x) / self.function_only_denominator(x),10)
        return res
    def handle(self):
        signal.alarm(500)
        if not self.proof_of_work():
            return        
        self.data = []
        for i in range(len(flag)):
            self.data.append(getRandomInteger(16))
        self.data.sort()
        self.lenth = len(flag)
        assert self.lenth == len(self.data)
        self.send(b'[+] Welcome!')
        self.send(b'[+] Can you find the flag through the calculating?')
        while True:
            self.send(MENU, newline=False)
            choice = self.recv()
            if(choice == b'1'):
                self.send(b"[+] Plz give me your x: ")
                now = int(self.recv().strip().decode())
                now = self.function(now)
                self.send(("[+] let me show you the answer: "+str(now)).encode())
            elif(choice == b'2'):
                self.send(b"[+] Plz give me your x: ")
                now = int(self.recv().strip().decode())
                now = self.function_only_numerator(now)
                self.send(("[+] let me show you the answer: "+str(now)).encode())
            elif(choice == b'3'):
                self.send(b"[+] Plz give me your x: ")
                now = int(self.recv().strip().decode())
                now = self.function_only_denominator(now)
                self.send(("[+] let me show you the answer: "+str(now)).encode())
            else:
                break
        self.request.close()
class ThreadedServer(socketserver.ThreadingMixIn, socketserver.TCPServer):
    pass
class ForkedServer(socketserver.ForkingMixIn, socketserver.TCPServer):
    pass
if __name__ == "__main__":
    HOST, PORT = '0.0.0.0', 10001
    server = ForkedServer((HOST, PORT), Task)
    server.allow_reuse_address = True
    server.serve_forever()

通过代码审计，我们发现，题目会给出一个秘密的字符串$s$，并给出一组数据$a$，其中构造一个函数（$t$为程序进行的轮数，$5$轮后给出flag）
$$
f(x)=\sum_{i=1}^{16t} \dfrac{s_i}{x-a_i}
$$
此处$a$中的数字的规模为$2^{32}$，所以我们可以直接对服务器发送$a_i+1$的值，这样我们就可以获得每一个$s_i$值的非常精确的值了。

下面直接给出解密脚本。实际上对于远程题来说：确定接收的内容还是比较困难的，有的时候即使使用recvuntil也比较复杂。所以截取稳定的两段内容的时候个人一般习惯于数下标（

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from Crypto.Util.number import *
from pwn import *
from hashlib import sha256
def getyanzhengma(s16,s64):
    assert len(s16)==16 and len(s64)==64
    table="0123456789QWERTYUIOPASDFGHJKLZXCVBNMqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm"
    for i1 in table:
        for i2 in table:
            for i3 in table:
                for i4 in table:
                    s=i1+i2+i3+i4+s16
                    if(sha256(s.encode()).hexdigest()==s64):
                        return i1+i2+i3+i4
def str_2_list(s):
    li,inli,num,table=[],0,0,"0123456789"
    for i in s:
        if i in table:
            inli,num=1,num*10+int(i)
        else:
            if inli==1:
                li.append(num)
                inli,num=0,0
    return li,len(li)
def str_2_float(s):
    flo,uit,dot=0,0.1,0
    for i in s:
        if i=='.':
            dot=1
            continue
        if dot==0:
            flo=flo*10+int(i)
        else:
            flo+=int(i)*uit
            uit=uit/10
    return flo
#--------MAIN BELOW--------#
sh=remote("node3.buuoj.cn",26452)
s1=sh.recvuntil(':')
s2=getyanzhengma(s1[16:32],s1[37:101])
sh.send(s2)
print('[#] sent yanzhengma')
for T in range(5):
    print('[#] '+str(T+1)+'th Round Begin')
    if not T:
        for i in range(3):
            s1=sh.recvline(keepends=False)
    else:
        s1=sh.recvline(keepends=False)
    tokn,lentokn=str_2_list(s1)
    subans=""
    for i in range(lentokn):
        s1=sh.recvuntil('xit')
        sh.send('1')
        s1=sh.recvuntil('x:')
        sh.send(str(tokn[i]+1))
        s1=sh.recvline(keepends=False)
        s1=sh.recvline(keepends=False)
        subans+=chr(int(str_2_float(s1[36:48])+0.5))
    print('[#] '+str(T+1)+' th Round Answer: '+subans)
    sh.recvuntil('xit')
    sh.send('2')
    sh.send(subans)
    print('[#] Sent '+str(T+1)+'th Round Answer')
    for i in range(3):
        s1=sh.recvline(keepends=False)
flag=sh.recvline(keepends=False)
flag=sh.recvline(keepends=False)
print(flag)

4.Strange Function 2

我们再来看看2.0版本发生了什么变化（

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from Crypto.Util.number import *
from hashlib import sha256
from secret import flag
import socketserver
import signal
import string
import random
import os
MENU = br'''[+] 1.function
[+] 2.check_answer
[+] 3.exit
'''
class Task(socketserver.BaseRequestHandler):
    def _recvall(self):
        BUFF_SIZE = 2048
        data = b''
        while True:
            part = self.request.recv(BUFF_SIZE)
            data += part
            if len(part) < BUFF_SIZE:
                break
        return data.strip()
    def send(self, msg, newline=True):
        try:
            if newline:
                msg += b'\n'
            self.request.sendall(msg)
        except:
            pass
    def recv(self, prompt=b'[-] '):
        self.send(prompt, newline=False)
        return self._recvall()
    def proof_of_work(self):
        random.seed(os.urandom(8))
        proof = ''.join([random.choice(string.ascii_letters+string.digits) for _ in range(20)])
        _hexdigest = sha256(proof.encode()).hexdigest()
        self.send(f"[+] sha256(XXXX+{proof[4:]}) == {_hexdigest}".encode())
        x = self.recv(prompt=b'[+] Plz tell me XXXX: ')
        if len(x) != 4 or sha256(x+proof[4:].encode()).hexdigest() != _hexdigest:
            return False
        return True
    def function(self, x):
        res = 0
        for i in range(self.lenth):
            numerator = ord(self.token[i])
            denominator = x - self.data[i]
            try:
                tmp = numerator / denominator
            except Exception as e:
                self.send(b'[+] Error!')
                return
            res += tmp
        return res
    def handle(self):
        signal.alarm(1000)
        if not self.proof_of_work():
            return            
        self.send(b'[+] Welcome!')
        self.send(b'[+] Can you find the flag through the calculating?')
        self.score = 0
        self.token = ''.join(random.sample(string.ascii_letters + string.digits, 8))
        self.lenth = len(self.token)
        self.data = []
        for i in range(self.lenth):
            self.data.append(getRandomInteger(17))
        self.send(str(self.data).encode())
        while True:
            self.send(MENU, newline=False)
            choice = self.recv()
            if(choice == b'1'):
                self.send(b"[+] Plz give me your x: ")
                now = int(self.recv().strip().decode())
                now = self.function(now)
                self.send(("[+] let me show you the answer: "+str(now)).encode())
            elif(choice == b'2'):
                guess = self.recv().strip().decode()
                if(guess == self.token):
                    self.score += 1
                    self.send(b"[+] You win!")
                    self.send(("[!] Now your score: " + str(self.score)).encode())

                    self.token = ''.join([random.choice(string.digits + string.ascii_letters) for i in range((self.score+1)*8)])
                    self.lenth = len(self.token)
                    self.data = []
                    for i in range(self.lenth):
                        self.data.append(getRandomInteger(17))
                    self.send(str(self.data).encode())
                    
                    if(self.score >= 5):
                        self.send(flag.encode())
                else:
                    self.send(b'[+] What do you want to say???')
                    self.send(b'[!] Go away!')
                    break
            else:
                break
        self.request.close()
class ThreadedServer(socketserver.ThreadingMixIn, socketserver.TCPServer):
    pass
class ForkedServer(socketserver.ForkingMixIn, socketserver.TCPServer):
    pass
if __name__ == "__main__":
    HOST, PORT = '0.0.0.0', 10002
    server = ForkedServer((HOST, PORT), Task)
    server.allow_reuse_address = True
    server.serve_forever()

很显然，我们发现了一个很重要的不同：

在函数
$$
f(x)=\sum_{i=1}^{8t} \dfrac{s_i}{x-a_i}
$$
里面，$a_i$的规模从$2^{32}$降到了$2^{17}$，这就导致了每当我们输入$x=a_i+1$后，给出来的数据偏离整数较大，如果我我们这个时候继续用第三题中的代码，会导致部分数字出现形如$109.47886234,53.53195675$等这种离整数较远的数据，甚至出现了$61.06428516$（因为9的ASCII码值是$57$，A的ASCII码值是$65$，说明这种情况下噪声已经远远超过了$1$）。直接跑的话必然会出错。

然而，虽然这里会出现一个较大的误差，不过是多个误差叠加而成，这里我们获得的数据实际上反应了$s_i$的大概值，因此我们考虑降噪的时候，

这里我们就需要对接收到的数据进行一个处理：

观察这个函数（我突然想到了XDU的RE大佬Innerspace含树，不知道为什么，快逃）
$$
f(x)=\sum_{i=1}^{8t} \dfrac{s_i}{x-a_i}
$$
我们改变一下，假设我们想要提取$s_j$（我们已知$x=a_j+1$，因此左边的分母值是$1$，不过由于浮点误差等原因，$x-a_i$不会严格等于$1$，但非常接近$1$）。
$$
\dfrac{s_j}{x-a_j}=f(x)-\sum_{i\in [1,8t],i\not =j}\dfrac{s_i}{x-a_i}
$$
因此我们可以先获取我们通过每次发送$a_j+1$的值，先存储我们接收到的浮点数，然后通过降噪处理,获得我们真正需要的$s_j$值。

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def ReduceError(tokn,lflo):
    lflo2=[]
    for i in range(len(tokn)):
        cnt=lflo[i]
        for j in range(len(tokn)):
            if i==j:
                continue
            cnt-=lflo[j]/(-tokn[j]+tokn[i]+1)
        lflo2.append(cnt)
    return lflo2

然后我们通过ReduceError处理一下，就获得了我们想要的数据。然后直接一遍过。

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from Crypto.Util.number import *
from pwn import *
from hashlib import sha256
def getyanzhengma(s16,s64):
    assert len(s16)==16 and len(s64)==64
    table="0123456789QWERTYUIOPASDFGHJKLZXCVBNMqwertyuiopasdfghjklzxcvbnm"
    for i1 in table:
        for i2 in table:
            for i3 in table:
                for i4 in table:
                    s=i1+i2+i3+i4+s16
                    if(sha256(s.encode()).hexdigest()==s64):
                        return i1+i2+i3+i4
def str_2_list(s):
    li,inli,num,table=[],0,0,"0123456789"
    for i in s:
        if i in table:
            inli,num=1,num*10+int(i)
        else:
            if inli==1:
                li.append(num)
                inli,num=0,0
    return li,len(li)
def str_2_float(s):
    flo,uit,dot=0,0.1,0
    for i in s:
        if i=='.':
            dot=1
            continue
        if dot==0:
            flo=flo*10+int(i)
        else:
            flo+=int(i)*uit
            uit=uit/10
    return flo
def ReduceError(tokn,lflo):
    lflo2=[]
    for i in range(len(tokn)):
        cnt=lflo[i]
        for j in range(len(tokn)):
            if i==j:
                continue
            cnt-=lflo[j]/(-tokn[j]+tokn[i]+1)
        lflo2.append(cnt)
    return lflo2
#--------MAIN BELOW--------#
sh=remote("node3.buuoj.cn",25102)
s1=sh.recvuntil(':')
s2=getyanzhengma(s1[16:32],s1[37:101])
sh.send(s2)
print('[#] sent yanzhengma')
for T in range(5):
    lflo=[]
    print('[#] '+str(T+1)+'th Round Begin')
    if not T:
        for i in range(3):
            s1=sh.recvline(keepends=False)
    else:
        s1=sh.recvline(keepends=False)
    tokn,lentokn=str_2_list(s1)
    subans=""
    for i in range(lentokn):
        s1=sh.recvuntil('xit')
        sh.send('1')
        s1=sh.recvuntil('x:')
        sh.send(str(tokn[i]+1))
        s1=sh.recvline(keepends=False)
        s1=sh.recvline(keepends=False)
        lflo.append(str_2_float(s1[36:48]))
    print(lflo)
    lflo=ReduceError(tokn,lflo)
    print(lflo)
    for i in lflo:
        subans+=str(chr(int(i+0.5)))

    print('[#] '+str(T+1)+' th Round Answer: '+subans)
    sh.recvuntil('xit')
    sh.send('2')
    sh.send(subans)
    print('[#] Sent '+str(T+1)+'th Round Answer')
    for i in range(3):
        s1=sh.recvline(keepends=False)
flag=sh.recvline(keepends=False)
flag=sh.recvline(keepends=False)
print(flag)

以下的运行截图，反映了降噪后数据的合理性，我们可以发现，降噪后的数据还是非常靠近整数值的。

F7

这里DeeBaTo大佬也提供了一种方法，用的是中间ASCII码交叉的方式，从中间的ASCII值$85$逼近，相当于一种丢番图的思想。

网页链接Deebato-VNCTFWP-2021-3-28

（本来打算把代码放进来的，不过复制出了问题，就不放了吧）

5.总结

VNCTF的5道题目，个人认为总体质量还是比较高的。不过自己水平还是太菜了，导致一个月后才进行复现。

最近首当其冲的是CET6的准备，争取一次过，过了CET6，英语直接跑路。

然后还要复习高数大物电路C++

huangx607087,去复习，gkd，不然你期末就挂科了

我仿佛已经看到了自己期末高数和大物挂了的场景

文章作者: huangx607087
文章链接: http://example.com/2021/04/09/VNCTF-WriteUp/
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